A. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan :
dengan 
Grafik fungsi kuadrat berbentuk
parabola simetris.
B. Sifat-Sifat Grafik Fungsi
Kuadrat
1.
Berdasarkan nilai a
· a > 0 (positif) parabola terbuka keatas
(nilai ekstrem/titik balik minimum)
· a < 0 (negative) parabola terbuka kebawah
(nilai ekstrem/titik balik maksimum)
2.
Berdasarkan nilai diskriminan (D)
Nilai diskriminan suatu
persamaan kuadrat y = ax² + bx + c
adalah sebagai berikut.
D
= b² - 4ac
· D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik.
· D = 0, grafik memotong sumbu X di satu titik/grafik menyinggung
sumbu X
· D < 0, grafik tidak memotong sumbu X
C. Menggambar Grafik Fungsi
Kuadrat
Langkah-langkah menggambar
grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.
1.
Menentukan titik potong dengan sumbu
X,
Titik potong dengan sumbu X
diperoleh jika y = 0 atau ax² + bx + c = 0
2.
Menentukan titik potong dengan sumbu
Y,
Titik potong dengan sumbu Y
diperoleh jika x = 0
3.
Menentukan titik pucak/titik ekstrem/titik stasioner/titik balik P(x,y)
Menentukan titik pucak/titik ekstrem/titik stasioner/titik balik P(x,y)
·
Sumbu simetri,
Sumbu simetri,
·
Koordinat titik pucak/titik balik,
dengan D = b² - 4ac
4. Menentukan beberapa titik bantu
lainnya (jika diperlukan) dengan mengambil sembarang nilai x, kemudian
substitusikan kedalam persamaan fungsi kuadrat.
Lukis
grafiknya dengan dengan mnghubungkan titik-titik yang telah diperoleh pada langkah
1 – 4.
Contoh
:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x²
- 4x - 5
Penyelesaian :
karena a > 0, maka grafik akan terbuka ke atas.
a.
Titik
potong dengan sumbu X (y = 0)
y
= x² - 4x – 5
0
= x² - 4x – 5
0
= (x + 1)(x – 5)
x = - 1 atau x = 5
Jadi,
titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1,0) dan (5,0)
b.
Titik
potong dengan sumbu Y (x = 0)
y
= x² - 4x – 5
y
= 0² - 4(0) – 5
y
= - 5
Jadi,
titik potong grafik dengan sumbu Y adalah titik (0, -5)
c.
Sumbu
simetri dan koordinat titik balik
jadi,
sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2,-9)
d.
Menentukan
beberapa titik bantu. Missal x = 1 maka
y = 1² -
4(1) – 5
y = - 8
jadi,
titik bantunya (1,-8)
Dari empat langkah di atas, sekarang
kita gambarkan ke dalam koordinat Cartesius berikut :
D. Menyusun Persamaan Grafik
Fungsi Kuadrat
1.
Persamaan fungsi
kuadrat jika diketahui titik puncak grafik P(p,q) dan satu titik lainnya, yaitu
:
Persamaan fungsi
kuadrat jika diketahui titik puncak grafik P(p,q) dan satu titik lainnya, yaitu
:
Contoh :
Persamaan grafik fungsi
kuadrat yang mempunyai titik balik di
P(-2,6), dan melalui titik A(-3, 4) adalah …
Penyelesaian :
P(p,q) = (-2,6), A(x,y) =
(-3,4)
y = a(x - p)² + q
y = a(x – (-2))² + 6
4 = a(-3 + 2)² + 6
4 = a + 6
a = - 2
jadi persamaan grafik fungsi
kuadratnya adalah
y = a(x - p)²
+ q
y = -2(x – (-2))²
+ 6
= -2(x + 2)² + 6
= -2(x² + 4x + 4) + 6
= -2x² - 8x – 8 + 6
y = -2x² - 8x - 2
2.
y = -2x² - 8x - 2
Persamaan fungsi kuadrat
jika grafik fungsi memotong sumbu X di titik (x₁,0) dan (x₂,0),
yaitu :
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang
memotong sumbu X di titik A(1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y dititik (0,3)
Penyelesaian :
Substitusikan titik (1,0) dan
(-3,0) ke pesamaan y = a(x - x₁)(x - x₂), menjadi:
y = a(x - x₁)(x - x₂)
y = a(x - 1)(x – (-3))
y = a(x – 1)(x + 3) …
… pers. (1)
kemudian substitusikan (0,3) ke
persamaan (1)
y = a(x – 1)(x + 3)
3 = a(0 – 1)(0 + 3)
3 = a(-1)(3)
3 = -3a
a = -1
Persamaan fungsi kuadratnya
menjadi :
y = -1(x –
1)(x + 3)
y = -1(x² +
2x – 3)
y = -x² - 2x + 3
3. Persamaan fungsi kuadrat jika
diketahui grafik fungsi melalui tiga
titik sembarang, substitusikan ketiga titik tersebut ke y = ax² +
bx + c dan lakukan metode
eliminasi atau substitusi.y = -x² - 2x + 3
Contoh
:
Tentukan
fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3), dan (4,5).
Penyelesaian
:
f(x) = ax² + bx + c
· (x,y) = (1,-4)
f(1) = a(1)² + b(1) + c = - 4
a + b + c
= - 4 … … pers (1)
· (x,y) = (0,-3)
f(0) = a(0)² + b(0) + c = - 3
c = - 3 … …
pers (2)
· (x,y) = (4,5)
f(4) = a(4)² + b(4) + c = 5
16a + 4b + c = 5 … … pers (3)
Substitusi c = -3 (pers.2) ke
pers (1)dan pers (3) diperoleh :
a + b + c = - 4 ó a
+ b – 3 = -4
a + b = - 1 … … pers (4)
16a + 4b + c = 5 ó 16a + 4b – 3 = 5
16a + 4b = 8 (dibagi 4)
4a + b = 2 …
… pers (5)
Dari persamaan (4) dan (5)
diperoleh :
a + b = - 1
4a
+ b = 2 -
-3a = -3
a = 1
Substitusi a = 1 ke pers (4)
a
+ b = - 1 ó 1
+ b = - 1
b = - 2
Jadi
persamaan fungsi kuadratnya adalah :
y = ax² + bx + c
y = (1)x² + (-2)x + (-3)
y = x² - 2x - 3
Daftar Pustaka:
Toali, Kasmina, MATEMATIKA untuk SMK/MAK Kelas X, Erlangga, Jakarta, 2013.
Kasmina, SPM Matematika untuk SMK/MAK, Erlangga, Jakarta, 2018.
Kasmina, ERLANGGA X-PRESS UN SMK/MAK 2020 Matematika, Erlangga, 2019.
