Fungsi Kuadrat

A.   Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan :

  dengan 

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris.

B.    Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

1.    Berdasarkan nilai a

·      a > 0 (positif) parabola terbuka keatas (nilai ekstrem/titik balik minimum)

·  a < 0 (negative) parabola terbuka kebawah (nilai ekstrem/titik balik maksimum)

2.    Berdasarkan nilai diskriminan (D)

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat y = ax² + bx + c  adalah sebagai berikut.

D = b² - 4ac

·    D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik.

·    D = 0, grafik memotong sumbu X di satu titik/grafik menyinggung sumbu X

·    D < 0, grafik tidak memotong sumbu X

C.  Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.

1.    Menentukan titik potong dengan sumbu X,

Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = 0 atau ax² + bx + c = 0

2.    Menentukan titik potong dengan sumbu Y,

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika x = 0

3.   
Menentukan titik pucak/titik ekstrem/titik stasioner/titik balik P(x,y)

·        
Sumbu simetri,

          

·         Koordinat titik pucak/titik balik,

           dengan D = b² - 4ac

4. Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika diperlukan) dengan mengambil sembarang nilai x, kemudian substitusikan kedalam persamaan fungsi kuadrat.

Lukis grafiknya dengan dengan mnghubungkan titik-titik yang telah diperoleh pada langkah 1 – 4.

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² - 4x - 5

Penyelesaian :

karena a > 0, maka grafik akan terbuka ke atas.

a.   Titik potong dengan sumbu X (y = 0)

y = x² - 4x – 5

0 =  x² - 4x – 5

0 = (x + 1)(x – 5)

       x = - 1 atau x = 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1,0) dan (5,0)

b.   Titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

y = x² - 4x – 5

y = 0² - 4(0) – 5

y = - 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah titik (0, -5)

c.    Sumbu simetri dan koordinat titik balik

 

jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2,-9)

d.   Menentukan beberapa titik bantu. Missal  x = 1 maka

y = 1² - 4(1) – 5

y = - 8

jadi, titik bantunya (1,-8)

Dari empat langkah di atas, sekarang kita gambarkan ke dalam koordinat Cartesius berikut :

D.   Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

1.    Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak grafik P(p,q) dan satu titik lainnya, yaitu :

Contoh :

Persamaan grafik fungsi kuadrat  yang mempunyai titik balik di P(-2,6), dan melalui titik A(-3, 4) adalah …

Penyelesaian :

P(p,q) = (-2,6), A(x,y) = (-3,4)

y = a(x - p)² + q

y = a(x – (-2))² + 6

4 = a(-3 + 2)² + 6

4 = a + 6

a = - 2

jadi persamaan grafik fungsi kuadratnya  adalah

y = a(x - p)² + q

y = -2(x – (-2))² + 6

   = -2(x + 2)² + 6

   = -2(x² + 4x + 4) + 6

   = -2x² - 8x – 8 + 6
          y = -2x² - 8x - 2

2.    Persamaan fungsi kuadrat jika grafik fungsi memotong sumbu X di titik (x₁,0) dan (x₂,0), yaitu :

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang memotong sumbu X di titik A(1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y dititik (0,3)

Penyelesaian :

Substitusikan titik (1,0) dan (-3,0) ke pesamaan y = a(x - x₁)(x - x₂), menjadi:

           y = a(x - x₁)(x - x₂)

           y = a(x - 1)(x – (-3))

           y = a(x – 1)(x + 3)    … … pers. (1)

kemudian substitusikan (0,3) ke persamaan (1)

           y = a(x – 1)(x + 3)

           3 = a(0 – 1)(0 + 3)

           3 = a(-1)(3)

           3 = -3a

           a = -1

Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

y = -1(x – 1)(x + 3)

y = -1(x² + 2x – 3)
          y = -x² - 2x + 3

3. Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik fungsi  melalui tiga titik sembarang, substitusikan ketiga titik tersebut ke y = ax² + bx + c dan lakukan metode eliminasi atau substitusi.

Contoh :

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3), dan (4,5).

Penyelesaian :

     f(x) = ax² + bx + c

·  (x,y) = (1,-4)

 f(1) = a(1)² + b(1) + c = - 4

                      a + b + c = - 4    … … pers (1)

·  (x,y) = (0,-3)

   f(0) = a(0)² + b(0) + c = - 3

                                     c = - 3 … … pers (2)

·  (x,y) = (4,5)

  f(4) = a(4)² + b(4) + c = 5

                16a + 4b + c = 5   … … pers (3)

Substitusi c = -3 (pers.2) ke pers (1)dan pers (3) diperoleh :

a + b + c = - 4                 ó        a + b – 3 = -4

                                                          a + b = - 1           … … pers (4)

16a + 4b + c = 5             ó        16a + 4b – 3 = 5

                                                          16a + 4b = 8       (dibagi 4)

                                                              4a + b = 2       … … pers (5)

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh :

  a + b = - 1

4a + b =   2  -

      -3a = -3      

         a = 1

Substitusi  a = 1 ke pers (4)

            a + b = - 1     ó        1 + b = - 1

                                                    b = - 2

Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah :

       y = ax² + bx + c

       y = (1)x² + (-2)x + (-3)

       y = x² - 2x - 3

Daftar Pustaka:
Toali, Kasmina,  MATEMATIKA untuk SMK/MAK Kelas X, Erlangga, Jakarta, 2013.
Kasmina, SPM Matematika untuk SMK/MAK, Erlangga, Jakarta, 2018.
Kasmina, ERLANGGA X-PRESS UN SMK/MAK 2020 Matematika, Erlangga, 2019.