Fungsi Kuadrat

A.   Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan :

  dengan 

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris.

B.    Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

1.    Berdasarkan nilai a

·      a > 0 (positif) parabola terbuka keatas (nilai ekstrem/titik balik minimum)

·  a < 0 (negative) parabola terbuka kebawah (nilai ekstrem/titik balik maksimum)

2.    Berdasarkan nilai diskriminan (D)

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat y = ax² + bx + c  adalah sebagai berikut.

D = b² - 4ac

·    D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik.

·    D = 0, grafik memotong sumbu X di satu titik/grafik menyinggung sumbu X

·    D < 0, grafik tidak memotong sumbu X

C.  Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.

1.    Menentukan titik potong dengan sumbu X,

Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = 0 atau ax² + bx + c = 0

2.    Menentukan titik potong dengan sumbu Y,

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika x = 0

3.   
Menentukan titik pucak/titik ekstrem/titik stasioner/titik balik P(x,y)

·        
Sumbu simetri,

          

·         Koordinat titik pucak/titik balik,

           dengan D = b² - 4ac

4. Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika diperlukan) dengan mengambil sembarang nilai x, kemudian substitusikan kedalam persamaan fungsi kuadrat.

Lukis grafiknya dengan dengan mnghubungkan titik-titik yang telah diperoleh pada langkah 1 – 4.

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² - 4x - 5

Penyelesaian :

karena a > 0, maka grafik akan terbuka ke atas.

a.   Titik potong dengan sumbu X (y = 0)

y = x² - 4x – 5

0 =  x² - 4x – 5

0 = (x + 1)(x – 5)

       x = - 1 atau x = 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1,0) dan (5,0)

b.   Titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

y = x² - 4x – 5

y = 0² - 4(0) – 5

y = - 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah titik (0, -5)

c.    Sumbu simetri dan koordinat titik balik

 

jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2,-9)

d.   Menentukan beberapa titik bantu. Missal  x = 1 maka

y = 1² - 4(1) – 5

y = - 8

jadi, titik bantunya (1,-8)

Dari empat langkah di atas, sekarang kita gambarkan ke dalam koordinat Cartesius berikut :

D.   Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

1.    Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak grafik P(p,q) dan satu titik lainnya, yaitu :

Contoh :

Persamaan grafik fungsi kuadrat  yang mempunyai titik balik di P(-2,6), dan melalui titik A(-3, 4) adalah …

Penyelesaian :

P(p,q) = (-2,6), A(x,y) = (-3,4)

y = a(x - p)² + q

y = a(x – (-2))² + 6

4 = a(-3 + 2)² + 6

4 = a + 6

a = - 2

jadi persamaan grafik fungsi kuadratnya  adalah

y = a(x - p)² + q

y = -2(x – (-2))² + 6

   = -2(x + 2)² + 6

   = -2(x² + 4x + 4) + 6

   = -2x² - 8x – 8 + 6
          y = -2x² - 8x - 2

2.    Persamaan fungsi kuadrat jika grafik fungsi memotong sumbu X di titik (x₁,0) dan (x₂,0), yaitu :

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang memotong sumbu X di titik A(1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y dititik (0,3)

Penyelesaian :

Substitusikan titik (1,0) dan (-3,0) ke pesamaan y = a(x - x₁)(x - x₂), menjadi:

           y = a(x - x₁)(x - x₂)

           y = a(x - 1)(x – (-3))

           y = a(x – 1)(x + 3)    … … pers. (1)

kemudian substitusikan (0,3) ke persamaan (1)

           y = a(x – 1)(x + 3)

           3 = a(0 – 1)(0 + 3)

           3 = a(-1)(3)

           3 = -3a

           a = -1

Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

y = -1(x – 1)(x + 3)

y = -1(x² + 2x – 3)
          y = -x² - 2x + 3

3. Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik fungsi  melalui tiga titik sembarang, substitusikan ketiga titik tersebut ke y = ax² + bx + c dan lakukan metode eliminasi atau substitusi.

Contoh :

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3), dan (4,5).

Penyelesaian :

     f(x) = ax² + bx + c

·  (x,y) = (1,-4)

 f(1) = a(1)² + b(1) + c = - 4

                      a + b + c = - 4    … … pers (1)

·  (x,y) = (0,-3)

   f(0) = a(0)² + b(0) + c = - 3

                                     c = - 3 … … pers (2)

·  (x,y) = (4,5)

  f(4) = a(4)² + b(4) + c = 5

                16a + 4b + c = 5   … … pers (3)

Substitusi c = -3 (pers.2) ke pers (1)dan pers (3) diperoleh :

a + b + c = - 4                 ó        a + b – 3 = -4

                                                          a + b = - 1           … … pers (4)

16a + 4b + c = 5             ó        16a + 4b – 3 = 5

                                                          16a + 4b = 8       (dibagi 4)

                                                              4a + b = 2       … … pers (5)

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh :

  a + b = - 1

4a + b =   2  -

      -3a = -3      

         a = 1

Substitusi  a = 1 ke pers (4)

            a + b = - 1     ó        1 + b = - 1

                                                    b = - 2

Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah :

       y = ax² + bx + c

       y = (1)x² + (-2)x + (-3)

       y = x² - 2x - 3

Daftar Pustaka:
Toali, Kasmina,  MATEMATIKA untuk SMK/MAK Kelas X, Erlangga, Jakarta, 2013.
Kasmina, SPM Matematika untuk SMK/MAK, Erlangga, Jakarta, 2018.
Kasmina, ERLANGGA X-PRESS UN SMK/MAK 2020 Matematika, Erlangga, 2019.

Tugas Persamaan Kuadrat

          Tugas 1 (Akar-akar Persamaan Kuadrat & Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat)
          Tugas 2 (Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persmaan Kuadrat)
          Tugas 3 (Menyusun Persamaan Kuadrat Baru)
          

Persamaan Kuadrat

Matriks 3 (Determinan & invers)

Matriks 2 (Operasi Matriks)

 

MATRIKS 1 (Definisi, Jenis-jenis, Kesamaan & Transpose Matriks)

A.   RINGKASAN MATERI

1.    Pengertian Matriks

a.    Definisi Matriks

Matriks merupakan susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom serta dibatasi dengan tanda kurung. Bilangan-bilangan penyusun matriks disebut dengan elemen matriks. Sedangkan ukuran yang menyatakan banyaknya elemen matriks dinamakan dengan ordo matriks. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital A, B, C, dan sebagainya.

Matriks A diatas berordo mxn, atau dinotasikan dengan A_mxn.

Contoh :

Hasil pertandingan sepak bola antara SMK Garuda dan SMK Tunas Bangsa tercatat dalam table berikut :

SMK	SKOR
	BABAK 1	BABAK 2
GARUDA	5	1
TUNAS BANGSA	3	4

Data tersebut dapat disederhanakan dengan menghilangkan semua keterangan (judul baris dan kolom) pada table dan mengganti table dengan tanda kurung, seperti berikut :

, baris 1 dan baris 2 menyatakan perolehan skor masing-masing sekolah, sedangkan kolom 1 dan 2 menyatakan peolehan skor tiap babak.

Jika matriks  kita sebut dengan matriks A, maka :

ü  5 merupakan elemen dari baris ke-1 kolom ke-1, atau a₁₁

ü  3  4  merupakan elemen baris ke-2

ü merupakan elemen kolom ke-1

b.    Macam-macam Matriks

1)      Matriks baris, merupakan matriks yang hanya terdiri atas satu baris.

2)      Matriks kolom, merupakan matriks yang terdiri dari satu kolom.

 

3)      Matriks nol, matriks yang elemen-elemennya nol.

 , merupakan matriks identitas untuk penjumlahan.

4)      Matriks identitas, matriks persegi yang elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen lainnya nol.

 

5)      Matriks diagonal, matriks persegi dengan pola semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utamanya yang tidak semuanya bernilai nol.

 

6)      Matriks scalar, matriks yang elemen diagonal utamanya adalah bilangan yang sama selain nol, sedangkan elemen lainnya nol.

 

7)      Matriks persegi, matriks dengan banyak baris dan kolomnya sama.

 

8)      Matriks simetri, matriks persegi yang elemen pada baris ke-I dan kolom ke-j sama dengan elemen pada baris ke-j kolom ke-i.

 

9)      Matriks segitiga, matriks persegi yang elemen-elemen dibawah atau diatas diagonal utama semuanya adalah nol.

c.    Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan  elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) nilainya sama.

Contoh :

d.    Transpose Matriks

Perubahan posisi elemen matriks pada baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dinamakan dengan transpose matriks. Transpose matriks dinotasikan dengan A^T.

Definisi Eksponen